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高中数学A选修2选修22第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例试题

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高中数学A选修2选修22第一章导数及其应用1.4生活中 的优化问题举例 试题 2019.09

x2
1,椭圆 C : a2

?

y2 b2

? 1 (a

?b

? 0) 的一个焦点 F1(?2,0) ,右准线方程 x

? 8.

(1)求椭圆 C 的方程;(2)若 M 为右准线上一点, A 为椭圆C 的左顶

PM
点,连结 AM 交椭圆于点 P ,求 AP 的取值范围;(3)圆 x2 ? ( y ? t)2 ? 1上

任一点为 D ,曲线 C 上任一点为 E ,如果线段 DE 长的最大值为 2 5 ?1 , 求 t 的值.

2,已知函数 f (x) ? 2x3 ? 3ax2 ,g(x) ? 3x2 ? 6x ,又函数 f (x) 在 (0,1) 单调递减, 而在 (1,??) 单调递增.(1)求 a 的值;
(2)求 M 的最小值,使对 ? x1、x2 ? ?? 2,2?,有 f (x1) ? g(x2 ) ? M 成立;
(3)是否存在正实数 m ,使得 h(x) ? f (x) ? mg(x) 在 (?2,2) 上既有最大值 又有最小值?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.

3,一组样本数据,容量为150,按从小到大的组序分成5个组,其频数如 下表:那么,第5组的频率为

4,①、命题“若 xy ? 1,则 x , y 互为倒数”的逆命题; ②、命题“面积相等的三角形全等”的否命题; ③、命题“若 m ?1,则 x2 ? 2x ? m ? 0有实根”的逆否命题; ④、命题“若 A B ? B ,则 A ? B ”的逆否命题。

其中是真命题的是 5,下列流程图运行输出的结果为

6,已知定点 A(?2,

3),

F

x2
是椭圆 16

?

y2 12

? 1 的右焦点,

M

是椭圆上一点,满

足| AM | ?2 | MF | 的值最小,则点 M 的坐标和| AM | ?2 | MF | 的最小值分别



.

? 7,已知

f

(

x)

?

?? ? ??

x x

3 2

.......x. .......x.

? ?

0 0

计算

1
?1 f (x)dx =

f (x) ? 1 x3 ? 1 ax2 ? b2 ?1 x ? 1

8,若实数a、b满足函数

32

4

在(-∞,+∞)为增函

数,则a+b>1的概率是

9,写出命题:“至少有一个实数 x , 使 x3 ? 2 =0”的否



.

10,若双曲线

x2 4

?

y2 5

?1上一点P到右焦点的距离为8,则P到左准线的距离为

_______.

11,已知 a ? (3, ?2, ?3) , b ? (?1, x ?1,1) ,且 a 与 b 的夹角为钝角,则x的取值范围 是

12,若函数 f (x) ? x3 ? 3a2x ?1 的图象与直线y=3只有一个公共点,则实数a

的取值范围



13,设等边 ?ABC的边长为 a , P 是 ?ABC内的任意一点,且 P 到三边

AB, BC,CA 的距离分别为 d1, d2 , d3 ,则有 d1

?

d2

?

d3 为定值

3 2

a ;由以上*面

图形的特性类比空间图形:设正四面体 ABCD的棱长为 a ,P 是正四面体 ABCD内的任意一点,且 P 到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为

d1, d2 , d3 , d4 ,则有 d1 ? d2 ? d3 ? d4 为定值_____

14,已知各个命题A、B、C、D,若A是B的充分不必要条件,C是B的必要

不充分条件,D是C的充分必要条件,试问D是A的

条件.

x2
15,椭圆 a2

?

y2 b2

?1

(a>b>0)离心率为

3 2

x2
,则双曲线 a2

y2 ?
b2

? 1 的离心率



.

16,已知样本均值= 5,样本方差S2=100,若将所有的样本观察值都乘

以 后,则新的样本均值和样本标准差S′分别为



17,对正整数n,设曲线 y ? xn (1 ? x) 在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为

a

n

,则数列

? ? ?

an n?

1

? ? ?

的前n项和的公式是

18,箱子中装有6张卡片,分别写有1到6这6个整数. 从箱子中任意取出

一张卡片,记下它的读数 x ,然后放回箱子,第二次再从箱子中取出一

张卡片,记下它的读数 y ,试求: (Ⅰ) x ? y 是5的倍数的概率; (Ⅱ)

x? y 是3的倍数的概率; (Ⅲ) x , y 中至少有一个5或6的概率.

19,驶中每小时的耗油量 y (升)关于行驶速度 x (千米/小时)的函数

解析式可以表示为:

y

?

1 128000

x3

?

3 80

x

?

8(0

?

x

?

120).

已知甲、乙两地相距100千米。

(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多

少升?

(II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少

为多少升?

20,已知直线 y

?

?x ? 1与椭圆 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0) 相交于A、B两点。

3
(1)若椭圆的离心率为 3 ,焦距为2,求椭圆的标准方程;

e?[1 , 2]
(2)若OA ? OB(其中O为坐标原点),当椭圆的离率 2 2 时,求椭圆 的长轴长的最大值。

试题答案

1,

a2
解:(1)由题意得, c ? 2 , c

? 8 得, a2

? 16,b2

? 12 ,

x2 ? y2 ?1
∴所求椭圆方程为 16 12 .

PM ? 8 ? x0 ? 12 ?1
(2)设 P 点横坐标为 x0 ,则 AP x0 ? 4 x0 ? 4 ,

PM ? 8 ? x0 ? 12 ?1 ? 1

∵ ? 4 ? x0 ? 4 ,∴ AP x0 ? 4 x0 ? 4

2.



PM AP

的取值范围是

?1 ?? 2

,?? ?? ?

(3)设圆的圆心为 O ,因圆的半径为1,因此, OE 的最大值为 2 5 ,

x0 2
设 E(x0 , y0 ) ,则 16

?

y02 12

?

1
,即

x

2 0

? 16(1 ?

y02 ) 12

OE ?

x02 ? ( y0 ? t)2 ?

16

?

4 3

y02

?

y02

?

2ty0

?

t2

?

?

1 3

y02

? 2ty0

? 16 ? t 2

?

?

1 3

(

y

0

?

3t ) 2

? 16

?

4t 2

∵ ? 2 3 ? y0 ? 2 3

∴当 ? 2 3 ? ?3t ? 2 3 时,则 y0 ? ?3t 时,有 OEmax ? 16 ? 4t 2 ? 2 5 ,得 t ? ?1, 满足条件;

当 ? 3t ? 2 3 时,则 y0 ? 2 3 时,有 OE max ?

? 1 (2 3 ? 3t)2 ? 16 ? 4t 2 ? 2 5

3



得, t ? 2 3 ? 2 5 ,但均不满足条件,所以无解;

当 ? 3t ? ?2 3 时,同理可得无解. 所以, t ? ?1.

2, 解:(1)由题意知 x ? 1是函数 f (x) 的一个极值点,即 f ' (1) ? 0 ,∴ 6 ? 6a ? 0 ,即 a ?1, 此时 f (x) ? 2x3 ? 3x2 , f ' (x) ? 6x2 ? 6x ? 6x(x ?1) 满足条件,∴ a ?1. (2)由 f ' (x) ? 6x(x ?1) ? 0 得, x ? 0或 x ? 1, 列表可得, f (0) ? 0 , f (1) ? ?1 , f (2) ? 4 , f (?2) ? ?28,
∴当 x1 ? ?? 2,2?时, ? 28 ? f (x1) ? 4 ;
又 g(x) ? 3x2 ? 6x ? 3(x ?1)2 ? 3 ,
∴当 x2 ??? 2,2?时, ? 3 ? g(x2 ) ? 24 ;
因此, ? 52 ? f (x1) ? g(x2 ) ? 7 ,∴ f (x1) ? g(x2 ) ? 52 ; ∴满足条件的 M 的最小值为52.

(3) h(x) ? f (x) ? mg (x) ? 2x3 ? 3(m ?1)x2 ? 6mx

则 h' (x) ? 6x2 ? 6(m ?1)x ? 6m ? 6(x ?1)( x ? m) ? 0 得 x1 ? 1, x2 ? ?m ;

要使得存在正实数 m ,使得 h(x) ? f (x) ? mg(x) 在 (?2,2) 上既有最大值又有

最小值,则必须 ? m ? ?2 ,即 0 ? m ? 2,且满足

? h(1) ? h(?2)

? m?1

?

m ?1

??h(?m) ? h(2) , 得 ??m3 ? 3m2 ? 4 ? 0 ,即 ??(m ?1)(m ? 2)2 ? 0 ∴ m ? 1

∴1 ? m ? 2即为所求

3, 0.2 4, ①,②,③ 5, 262

6, (2 3, 3),10
7
7, 12
1? 1
8, 4 2? 9, 不存在实数 x ,使 x3 ? 2 ? 0 (或 ?x? R, x3 ? 2 ? 0 )

8
10, 3 或8

5

5

11, (-2, 3 )∪( 3 ,+∞)

12, (-1,1)

13,

6a 3

14, 必要不充分

5
15, 2 ; 16, 1,2
? ? 2 1? 2n
17, Sn ? 1? 2 ? 2n?1 ? 2

18,

7 36

.、

20 36

?

5 9

.、1

?

16 36

?

5 9

19,

解:(I)当

x

?

40

时,汽车从甲地到乙地行驶了

100 40

?

2.5

小时,

要耗



(1 128000

?

403

?

3 80

?

40

?

8)

?

2.5

?

17.5

(升)。

100
(II)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 x 小时,设

耗油量为 h(x) 升, 依题意得

x 800 x3 ? 803

h(x)

?

(1 128000

x3

?3 80

x ? 8).100 x

?1 1280

x2

? 800 x

? 15 (0 ? 4

x ? 120),

h '(x)

?

640

?

x2

?

640x2

(0 ? x ? 120).

令 h '(x) ? 0, 得 x ? 80.

当 x ? (0,80) 时, h '(x) ? 0, h(x) 是减函数;

当 x ?(80,120) 时, h '(x) ? 0, h(x) 是增函数。

?当 x ? 80 时, h(x) 取到极小值 h(80) ?11.25. 因为 h(x) 在 (0,120]上只有一个极值,所以它是最小值。

答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,

最少为11.25升。

20,

e ? 3 ,即 c ? 3 .又2c ? 2,解得a ? 3, 3 a3
解(1)则b ? a2 ? c2 ? 2.

? 椭圆的标准方程为 x2 ? y 2 ? 1. 32

? x2 由?? a2

?

y2 b2

? 1,

?? y ? ?x ?1,

(2)消去y得(a2 ? b2 ) ? x2 ? 2a2x ? a2 ? (1? b2 ) ? 0,

由? ? (?2a2 )2 ? 4a2 (a2 ? b2 )(1? b2 ) ? 0, 整理得a2 ? b2 ? 1.

设A( x1 ,

y1, ), B(x2,

y2 ),则x1

?

x2

?

2a2 a2 ? b2

,

x1x2

?

a2 (1? b2 ) . a2 ? b2

? y1 y2 ? (?x1 ? 1)(?x2 ?1) ? x1x2 ? (x1 ? x2 ) ?1.

OA ? OB(其中O为坐标原点),? x1x2 ? y1y2 ? 0, 即2x1x2 ? (x1 ? x2 ) ?1 ? 0.

? 2a 2 (1 ? b2 ) ? 2a 2 ? 1 ? 0.整理得a 2 ? b2 ? 2a 2b2 ? 0.

a2 ? b2

a2 ? b2

?b2

?

a2

? c2

?

a2

? a2e2 , 代入上式得2a2

?1? 1 1? e2

? a2

?

1

1

(1? ).

2 1? e2

?e?[1 , 2

2 ]? 1 24

?

e2

?

1 ,? 1 22

?1?

e2

?

3 4

,?

4 3

?

1 1? e2

? 2,

? 7 ? 1 ? 1 ? 3,? 7 ? a 2 ? 3 ,适合条件 a 2 ? b2 ? 1,

3

1? e2

6

2

由此得

42 ? a ? 6 .? 42 ? 2a ? 6,故长轴长的最大值为 6.

6

23




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