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19版高考数学一轮复*第8章*面解析几何8.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程*题课件文

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课后作业夯关

8. 1

直线的倾斜角、斜率与直线的方程

[重点保分 两级优选练] A级 一、选择题 1 . (2018· 朝阳模拟 ) 直线 x + 3y + 1 = 0 的倾斜角为 ( ) π A. 6 2π C. 3 π B. 3 5π D. 6

解析

3 3 直线斜率为- ,即 tanα=- ,0≤α<π,∴α 3 3

5π = ,故选 D. 6

2.(2017· 正定质检)直线 xcos140° +ysin40° +1=0 的倾 斜角是( ) B.50° D.140° A.40° C.130°
解析

将直线 xcos140° +ysin40° +1=0 化成 xcos40°

cos40° -ysin40° -1=0,其斜率为 k= =tan50° ,倾斜角为 sin40° 50° .故选 B.

3. (2018· 哈尔滨模拟)函数 y=asinx-bcosx 的一条对称 π 轴为 x= ,则直线 l:ax-by+c=0 的倾斜角为( 4 )

π π A. B. 4 3 2π 3π C. D. 3 4 解析 由函数 y=f(x)=asinx-bcosx 的一条对称轴为 x
?π? π ? = 知,f(0)=f? ? ?,即-b=a,∴直线 l 的斜率为-1,∴倾 4 ?2?

3π 斜角为 .故选 D. 4

4.(2018· 衡阳期末)已知直线 PQ 的斜率为- 3,将直 线绕点 P 顺时针旋转 60° 所得的直线的斜率为( A. 3 C .0
解析

)

B.- 3 D.1+ 3
直线 PQ 的斜率为- 3,则直线 PQ 的倾斜角

为 120° ,所求直线的倾斜角为 60° ,tan60° = 3.故选 A.

5. 在等腰三角形 AOB 中, AO=AB, 点 O(0,0), A(1,3), 点 B 在 x 轴的正半轴上,则直线 AB 的方程为( A.y-1=3(x-3) C.y-3=3(x-1)
解析

)

B.y-1=-3(x-3) D.y-3=-3(x-1)

因为 AO=AB,所以直线 AB 的斜率与直线 AO

的斜率互为相反数,所以 kAB=-kOA=-3,所以直线 AB 的点斜式方程为 y-3=-3(x-1).故选 D.

6. (2017· 浙江诸暨质检)直线 Ax+By-1=0 在 y 轴上的 截距是-1,而且它的倾斜角是直线 3x-y=3 3的倾斜角 的 2 倍,则( ) A.A= 3,B=1 B.A=- 3,B=-1 C.A= 3,B=-1 D.A=- 3,B=1

解析

A 1 将直线 Ax+By-1=0 化成斜截式 y=- x+ . B B

1 π ∵ =-1,∴B=-1.又直线 3x-y=3 3的倾斜角 α= , B 3 2π A ∴直线 Ax+By-1=0 的倾斜角为 2α= ,∴斜率- = 3 B 2π tan =- 3,∴A=- 3,故选 B. 3

7.若经过点 P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正 的,且截距之和最小,则直线的方程为( A.x+2y-6=0 B.2x+y-6=0 C.x-2y+7=0 D.x-2y-7=0 )

解析 解法一:直线过 P(1,4),代入,排除 A、D;又 在两坐标轴上的截距为正,排除 C,故选 B. x y 解法二:设方程为 + =1, a b 1 4 将(1,4)代入得 + =1. a b
?1 ? ?b ? 4 4 a ? ? ? + + a+b=(a+b)? = 5 + ? ? ? ?≥9, a b a b ? ? ? ?

当且仅当 b=2a,即 a=3,b=6 时,截距之和最小. x y 所以直线方程为 + =1,即 2x+y-6=0.故选 B. 3 6

8.若直线 ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线 在 x 轴,y 轴上的截距之和的最小值为( A.1 C .4
解析

)

B.2 D.8
∵直线 ax+by=ab(a>0, b>0)过点(1,1), ∴a+b

?1 1? 1 1 b a ? ? =ab,即 + =1,∴a+b=(a+b)? + ? =2+ + ≥2+ b? a b a b ?a

2

ba ·=4,当且仅当 a=b=2 时上式等号成立.∴直线在 ab

x 轴,y 轴上的截距之和的最小值为 4.故选 C.

9.(2017· 新乡一中月考)若 m,n 满足 m+2n-1=0, 则直线 mx+3y+n=0 过定点(
?1 ? 1 ? , A.? ? 6? ?2 ? ?1 1? ? C.? ,- ? ? 6 2 ? ? ?1 ? 1 ? ,- B.? ? 6? ?2 ? ? 1 1? ? D.?- , ? ? 6 2 ? ?

)

解析

∵m+2n-1=0,∴m+2n=1.∵mx+3y+n=0,

1 1 1 ∴(mx+n)+3y=0,当 x= 时,mx+n= m+n= ,∴3y= 2 2 2
?1 1? 1 1 ? - ,∴y=- ,故直线过定点?2,-6? ?.故选 B. 2 6 ? ?

10.若点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上,则 m2+n2 的最小值是( A.2 C .4
4m+3n-10=0. 欲求 m2+n2 的最小值可先求 ?m-0?2+?n-0?2的最小 值.

) B.2 2 D.2 3

解析 因为点(m,n)在直线 4x+3y-10=0 上,所以

而 ?m-0?2+?n-0?2表示 4m+3n-10=0 上的点(m, n)到原点的距离,如图. 当过原点和点(m, n)的直线与直线 4m+3n-10=0 垂直 时,原点到点(m,n)的距离最小,最小值为 2. 故 m2+n2 的最小值为 4.故选 C.

二、填空题 → 11.已知 P(-3,2),Q(3,4)及直线 ax+y+3=0.若沿PQ 的方向延长线段 PQ 与直线有交点(不含 Q 点), 则 a 的取值
? 7 1? ? ? - ,- ? 3 3? 范围是______________ . ? ?

解析 直线 l: ax+y+3=0 是过点 A(0, -3)的直线系, 1 斜率为参变数-a,易知 PQ,QA,l 的斜率分别为:kPQ= , 3 7 kAQ= , kl=-a.若 l 与 PQ 延长线相交, 由图可知 kPQ<kl<kAQ, 3 7 1 解得- <a<- . 3 3

12.(2018· 石家庄校级期末)一直线过点 A(-3,4),且在 两 轴 上 的 截 距 之 和 为 12 , 则 此 直 线 方 程 是 x+3y-9=0 或 y=4x+16 . ____________________________

解析 设横截距为 a,则纵截距为 12-a, x y 直线方程为 + =1, a 12-a -3 4 把 A(-3,4)代入,得 + =1, a 12-a 解得 a=-4,a=9. x y a=9 时,直线方程为 + =1,整理可得 x+3y-9=0. 9 3 x y a=-4 时,直线方程为 + =1, -4 16 整理可得 4x-y+16=0. 综上所述,此直线方程是 x+3y-9=0 或 4x-y+16= 0.

13.过直线 l:y=x 上的点 P(2,2)作直线 m,若直线 l, m 与 x 轴围成的三角形的面积为 2,则直线 m 的方程为 ___________________ x-2y+2=0 或 x=2 .
解析 题意; ②若直线 m 的斜率 k=0,则直线 m 与 x 轴没有交点, 不符合题意; ①若直线 m 的斜率不存在,则直线 m 的方程为

x=2,直线 m,直线 l 和 x 轴围成的三角形面积为 2,符合

③若直线 m 的斜率 k≠0,设其方程为 y-2=k(x-2),
? 2? 1? 2 1 ? ? ? ? 令 y=0,得 x=2- ,依题意有 ×?2- ?×2=2,即?1- ? k? k? k 2 ? ? ?

1 1 =1,解得 k= ,所以直线 m 的方程为 y-2= (x-2),即 x 2 2 -2y+2=0. 综上知,直线 m 的方程为 x-2y+2=0 或 x=2.

14.在下列叙述中: ①若一条直线的倾斜角为 α,则它的斜率为 k=tanα; ②若直线斜率 k=-1,则它的倾斜角为 135° ; ③已知点 A(1,-3),B(1,3),则直线 AB 的倾斜角为 90° ; ④若直线过点(1,2),且它的倾斜角为 45° ,则这条直线 必过点(3,4); 3 ⑤若直线斜率为 ,则这条直线必过(1,1)与(5,4)两点. 4
②③④ .(填序号) 其中正确的命题是________

解析

①当 α=90° 时,斜率 k 不存在,故①错误;②倾

斜角的正切值为-1 时,倾斜角为 135° ,故②正确;③直线 AB 与 x 轴垂直,斜率不存在,倾斜角为 90° ,故③正确;④ 4-2 直线过定点(1,2), 斜率为 1, 又 =1, 故直线必过点(3,4), 3-1 3 故④正确;⑤斜率为 的直线有无数条,所以直线不一定过 4 (1,1)与(5,4)两点,故⑤错误.

B级 三、解答题 15.设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l 在两坐标轴上截距相等,求 l 的方程; (2)若 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围.

解 为零,

(1)当直线过原点时, 该直线在 x 轴和 y 轴上的截距

∴a=2,方程即为 3x+y=0. 当直线不经过原点时,截距存在且均不为 0. a-2 ∴ =a-2,即 a+1=1. a+1 ∴a=0,方程即为 x+y+2=0. 综上,l 的方程为 3x+y=0 或 x+y+2=0.

(2)将 l 的方程化为 y=-(a+1)x+a-2,
? ? ?-?a+1?>0, ?-?a+1?=0, ∴? 或? ∴a≤-1. ? ? ?a-2≤0 ?a-2≤0,

综上可知 a 的取值范围是(-∞,-1].

16.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于 A,交 y 轴正半轴于 B,△ AOB 的面积为 S(O 为坐标原点),求 S 的最小值并求此时直 线 l 的方程.

解 (1)证明: 直线 l 的方程可化为 k(x+2)+(1-y)=0,
? ? ?x+2=0, ?x=-2, 令? 解得? ? ? ?1-y=0, ?y=1.

∴无论 k 取何值,直线总经过定点(-2,1). (2)由方程知,当 k≠0 时,直线在 x 轴上的截距为- 1+2k , 在 y 轴上的截距为 1+2k, 要使直线不经过第四象限, k
? 1+2k ?- ≤-2, k 则必须有? ? ?1+2k≥1,

解得 k>0; 当 k=0 时, 直线为

y=1,符合题意,故 k 的取值范围为[0,+∞).

(3)由题意可知 k≠0,再由 l 的方程, 得
? ? 1 + 2 k ? A? ,0?,B(0,1+2k). ?- k ? ?

? 1+2k ?- <0, k 依题意得? ? ?1+2k>0,

解得 k>0.

内部文件,请勿外传

? 1 + 2 k 1 1? ? ? ∵S= · |OA|· |OB|= · |1+2k| ?· 2 2? k ? ? 2 1 ? 1 ?1+2k? 1? ? = · = ?4k+ +4? ? k 2 k 2? ?

1 ≥ ×(2×2+4)=4, 2 1 1 “=”成立的条件是 k>0 且 4k= ,即 k= , k 2 ∴Smin=4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0.

内部文件,请勿外传




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