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2018_2019高中数学第1部分第2章圆锥曲线与方程2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程讲义(含解析)苏教版选修2_1

2.3.1 双曲线的标准方程 [对应学生用书P25] 在平面直角坐标系中 A(-3,0),B(3,0),C(0,-3),D(0,3). 问题 1:若动点 M 满足|MA-MB|=4,设 M 的坐标为(x,y),则 x,y 满足什么关系? 提示: - =1. 4 5 问题 2:若动点 M 满足|MC-MD|=4,设 M 的坐标为(x,y),则 x,y 满足什么关系? 提示: - =1. 4 5 x2 y2 y2 x2 双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上 标准方程 焦点坐标 焦点在 y 轴上 x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 (±c,0) y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 (0,±c) a,b,c 的关系 c2=a2+b2 1.双曲线的标准方程与椭圆不同,左边是含 x,y 项的平方差,右边是 1. 2.在双曲线中,a>0 且 b>0,但 a 与 b 的大小关系不确定. 3.在双曲线中 a、b、c 满足 c =a +b ,与椭圆不同. 2 2 2 [对应学生用书P26] 用待定系数法求双曲线方程 [例 1] 已知双曲线过点 P(- 2,- 3),Q? ? 15 ? , 2?两点,求双曲线的标准方程. ? 3 ? 2 2 [思路点拨] 解答本题可分情况设出双曲线的标准方程,再构造关于 a、b、c 的方程组 求解,从而得出双曲线的标准方程.也可以设双曲线方程为 mx +ny =1(mn<0)的形式,将 1 两点代入,简化运算过程. [精解详析] 法一: 当双曲线的焦点在 x 轴上时, 设双曲线方程为 2- 2=1(a>0, b>0), ∵P(- 2,- 3),Q? (- 2) 2 2 x2 y2 a b ? 15 ? , 2?两点在双曲线上. ? 3 ? 2 ? a b ? ∴?? 15? ? ? ? 3 ? ( 2) ? ? a - b =1, 2 2 2 2 (- 3) - =1, 2 1 ? ?a =1, 解得? 1 1 ? ?b =3, 2 2 即 a =1,b =3, 2 2 ∴所求双曲线的标准方程为 x - =1. 3 当双曲线的焦点在 y 轴上时,设双曲线方程为 2 y2 y2 x2 - =1(a>0,b>0), a2 b2 ∵P(- 2,- 3),Q ? (- 3) 2 2 2 ? 15 ? , 2?两点在双曲线上, ? 3 ? ? a b ? ∴? ? 15? ? ? ( 2) ? 3 ? ? ? a - b =1. 2 2 2 2 (- 2) - =1, 2 1 1 ? ?a =-3, 解得? 1 ?b =-1, ? 2 2 (不符合题意,舍去). 综上:所求双曲线的标准方程为 x - =1. 3 法二:设双曲线的方程为 mx +ny =1(mn<0), 因为双曲线过两点 P(- 2,- 3),Q? 2 2 2 y2 ? 15 ? , 2?, ? 3 ? 2 ?m(- 2)2+n(- 3)2=1, ? 得? ? 15?2 2 m? ? +n( 2) =1, ? ? ? 3 ? 2 m=1, ? ? 解得? 1 n=- , ? 3 ? y2 所以所求双曲线的标准方程为 x - =1. 3 [一点通] 用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为: 1.根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)已知双曲线与椭圆 + =1 有共同的焦点,且过点( 15,4),求双曲线的方程; 27 36 (2)c= 6,经过点(-5,2),焦点在 x 轴上. 解:(1)椭圆 + =1 的焦点坐标为 F1(0,-3),F2(0,3),故可设双曲线的方程为 2- 27 36 a x2 y2 x2 y2 y2 x2 =1. b2 a +b =9, ? ? 由题意,知?42 ( 15)2 =1, 2- ? b2 ?a 故双曲线的方程为 - =1. 4 5 (2)∵焦点在 x 轴上,c= 6, ∴设所求双曲线方程为 - =1(其中 0<λ <6). λ 6-λ ∵双曲线经过点(-5,2), ∴ 25 4 - =1,∴λ =5 或 λ =30(舍去). λ 6-λ 2 2 ?a =4, ? 解得? 2 ?b =5. ? 2 y2 x2 x2 y2 ∴所求双曲线方程是 -y =1. 5 2.求适合下列条件的双曲线的标准方程: x2 2 3 (1)a=4,c=5,焦点在 y 轴上; (2)焦点为(0,-6),(0,6),经过点 A(-5,6). 解:(1)由题设知,a=4,c=5, 由 c =a +b ,得 b =c -a =5 -4 =9. 因为双曲线的焦点在 y 轴上,所以所求双曲线的标准方程为 - =1. 16 9 (2)由已知得 c=6,且焦点在 y 轴上.因为点 A(-5,6)在双曲线上,所以点 A 与两焦点 的距离的差的绝对值是常数 2a,即 2a=| (-5-0) +(6+6) - (-5-0) +(6-6) |= |13-5|=8,则 a=4,b =c -a =6 -4 =20. 因此,所求双曲线的标准方程是 - =1. 16 20 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y2 x2 y2 x2 曲线方程的讨论 [例 2] 若方程 + 2 =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线, 求实数 m 的取值范围. 5-m m -2m-3 [思路点拨] 由双曲线的焦点在 y 轴上,得关于 m 的不等式组,进而解不等式组求 m 的范围. [精解详析] ?5-m<0, ? ? 2 ?m -2m-3>0. ? x2 y2 由方程 x2 5-m + y2 =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,得 m2-2m-3 解得 m>5. 所以实数 m 的取值范围是(5,+∞). [一点通] 给出方程 + =1(mn≠0),当 mn<0 时,方程表示双



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