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初三数学有关圆的经典例题

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初三数学 有关圆的经典例题 1. 在半径为1的⊙O中,弦AB、AC的长分别为 3和 2,求∠BAC的度数。 分析:根据题意,需要自己画出图形进行解答,在画图时要注意 AB 与 AC 有不同的位 置关系。 解:由题意画图,分 AB、AC 在圆心 O 的同侧、异侧两种情况 讨论, 当 AB、AC 在圆心 O 的异侧时,如下图所示, 过 O 作 OD⊥AB 于 D,过 O 作 OE⊥AC 于 E, ∵AB ? 3,AC ? 2 ,∴AD ? 3 2 ,AE ? 2 2 ∵OA ? 1,∴ cos ∠OAD ? AE 2 ? OA 2 AD 3 ? , OA 2 cos ∠OAE ? ∴∠OAD=30°,∠OAE=45°,故∠BAC=75°, 当 AB、AC 在圆心 O 同侧时,如下图所示, 同理可知∠OAD=30°,∠OAE=45°, ∴∠BAC=15° 点拨:本题易出现只画出一种情况,而出现漏解的错误。 例 2. 如图:△ABC 的顶点 A、B 在⊙O 上,⊙O 的半径为 R,⊙O 与 AC 交于 D, ? 如果点D既是 AB 的中点,又是AC边的中点, (1)求证:△ABC 是直角三角形; ( 2) 求 分 AD 2 的值 BC 析 : ? (1) 由D为 AB 的中点,联想到垂径定理的推论,连结OD交AB于F, 则 AF=FB,OD⊥AB,可证 DF 是△ABC 的中位线; (2)延长 DO 交⊙O 于 E,连接 AE,由于∠DAE=90°,DE⊥AB,∴△ADF 1 AD 2 ∽△DAE,可得AD ? DF·DE,而DF ? BC,DE ? 2 R,故 可求 2 BC 2 解:(1)证明,作直径 DE 交 AB 于 F,交圆于 E ? ∵D为 AB 的中点,∴AB⊥DE,AF ? FB 又∵AD=DC ∴DF∥BC,DF ? 1 BC 2 ∴AB⊥BC,∴△ABC 是直角三角形。 (2)解:连结 AE ∵DE 是⊙O 的直径 ∴∠DAE=90° 而 AB⊥DE,∴△ADF∽△EDA AD DF ? ,即AD 2 ? DE·DF DE AD 1 ∵DE ? 2 R,DF ? BC 2 ∴ AD 2 ∴AD ? BC·R,故 ?R BC 2 例 3. 如图,在⊙O 中,AB=2CD,那么( ) ? ? A. AB ? 2 CD ? ? C. AB ? 2 CD ? ? ? B. AB ? 2 CD ? ? D. AB 与2 CD 的大小关系不确定 ? 分析: 要比较 AB 与2 CD 的大小,可以用下面两种思路进行: ? ? 1 ? (1) 把 AB 的一半作出来,然后比较 AB 与 CD 的大小。 2 ? ? ? (2) 把2 CD 作出来,变成一段弧,然后比较2 CD 与 AB 的大小。 解:解法(一),如图,过圆心 O 作半径 OF⊥AB,垂足为 E, ? ? 1 ? 则 AF ? FB ? AB 2 1 AE ? EB ? AB 2 ∵AB ? 2CD,∴AE ? CD ? ∵ AF ? FB ,∴AF ? FB 在△AFB 中,有 AF+FB>AB 1 AB 2 ? ? ∴ 2 AF ? AB,∴AF ? ? ? AB ,∴AF ? CD,∴ 2 AF ? 2 CD 2 ? ? ∴ AB ? 2 CD ∴选 A。 解法(二),如图,作弦 DE=CD,连结 CE ? ? 1 ? 则 DE ? CD ? CE 2 在△CDE 中,有 CD+DE>CE ∴2CD>CE ∵AB=2CD,∴AB>CE ? ? ? ? ∴ AB ? CE ,∴ AB ? 2 CD ∴选 A。 例 4. 如图,四边形ABCD内接于半径为 2 的⊙O,已知AB ? BC ? 求 CD 的长。 1 AD ? 1, 4 分析:连结 BD,由 AB=BC,可得 DB *分∠ADC,延长 AB、DC 交于 E,易得△EBC∽△EDA,又可判定 AD 是⊙O 的直径,得∠ABD=90°,可证得△ABD≌△EBD,得 DE=AD,利用△EBC∽△EDA,可 先求出 CE 的长。 解:延长 AB、DC 交于 E 点,连结 BD ∵AB ? BC ? 1 AD ? 1 4 ? ? ∴ AB ? BC ,AD ? 4 ,∴∠ADB ? ∠EDB ∵⊙O 的半径为 2,∴AD 是⊙O 的直径 ∴∠ABD=∠EBD=90°,又∵BD=BD ∴△ABD≌△EBD,∴AB=BE=1,AD=DE=4 ∵四边形 ABCD 内接于⊙O, ∴∠EBC=∠EDA,∠ECB=∠EAD ∴△EBC∽△EDA,∴ BC CE ? AD AE ∴CE ? BC·AE BC( AB ? BE ) 1 ? 1 1 ? ? ? AD AD 4 2 1 7 ? 2 2 ∴CD ? DE ? CE ? 4 ? 例 5. 如图,AB、AC分别是⊙O的直径和弦,D为劣弧 AC 上一点,DE⊥AB 于 H,交⊙O 于点 E,交 AC 于点 F,P 为 ED 的延长线上一点。 ? (1)当△PCF 满足什么条件时,PC 与⊙O 相切,为什么? ? (2) 当点D在劣弧 AC 的什么位置时,才能使AD 2 ? DE·DF,为什么? 分析:由题意容易想到作辅助线 OC, (1) 要使 PC 与⊙O 相切, 只要使∠PCO=90°, 问题转化为使∠OCA+∠PCF=∠FAH+ ∠AFH 就可以了。 (2) 要使AD 2 ? DE·DF,即使 AD DF ? ,也就是使△DAF∽△DEA DE AD 解:(1)当 PC=PF,(或∠PCF=∠PFC)时,PC 与⊙O 相切, 下面对满足条件 PC=PF 进行证明, 连结 OC,则∠OCA=∠FAH, ∵PC=PF,∴∠PCF=∠PFC=∠AFH, ∵DE⊥AB 于 H,∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90° 即 OC⊥PC,∴PC



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