当前位置: 首页 > >

高数同济24隐函数的导数

发布时间:

四、隐函数的导数 对数求导法 由参数方程所确定函数的导数 ? 隐函数的导数 ? 对数求导法由参数 ? 方程所确定函数的导数 1、隐函数的导数 P102 定义: 设在方程 F ( x, y) ? 0 中, 当 x 取某区 间内的任意值时, 相应地总有满足这方程的 唯一 y的值存在, 那么就说方程F ( x, y) ? 0在 该区间内确定了一个隐函数y ? f ( x) . y ? f ( x) 形式称为显函数. F(x, y) ? 0 y ? f ( x) 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 如 xy ? e x ? e y ? 0 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 例1 1) 求由方程 xy ? e x ? e y ? 0所确定的隐函数 y的导数 dy , dy dx dx . x?0 解 方程两边对 x求导 : y ? x dy ? e x ? e y dy ? 0 dx dx 解得 dy dx ? ex ? x?e y y , 由原方程知 x ? 0, y ? 0, ? dy dx x?0 ? ex ? y x?ey x?0 y?0 ? 1. 2)设 y=y(x) 由方程 ey =xe f(y) 确定, f (x)二阶可导, f ?(x)?1, 求 y?. 解 方程两边对x求导: ey y? = e f(y) + x e f(y) f ?(y) y? 故 y? ? ey ? e f ( y) xe f ( y) ? f ?( y) ? 1 x[1 ? f ?( y)] y?? ? ? [1 ? f ?( x 2[1 y)] ? xf ??( ? f ?( y)]2 y) y? ? x[1 ? f ?( y)]2 ? xf ??( y) ? x3[1 ? f ?( y)]3 3) 函数y=y(x)由方程 所确定, 求 y? sin( x2 ? y2 ) ? e x ? xy2 ? 0 解: cos(x2 ? y2 ) ? (2x ? 2 yy?) ? ex ? y2 ? 2xyy? ? 0 y'? y2 ? e x ? 2cos( x2 ? y2 ) 2 y cos( x2 ? y2 ) ? 2xy 例2 设曲线C的方程为 x3 ? y3 ? 3xy,求过C上点( 3 , 3)的 22 切线方程 , 并证明曲线 C在该点的法线通过原点 . 解 方程两边对x求导, 3x2 ? 3 y2 y? ? 3 y ? 3xy? ? y? (3,3) ? 22 y ? x2 y2 ? x ? ?1. 33 (,) 22 所求切线方程为 y ? 3 ? ?( x ? 3) 2 2 即 x ? y ? 3 ? 0. 法线方程为 y ? 3 ? x ? 3 即 y ? x, 显然通过原点. 22 例3 设 x4 ? xy ? y4 ? 1, 求y', y??在点(0,1)处的值 . 解 方程两边对x求导得 4x3 ? y ? xy? ? 4 y3 y? ? 0 (1) 代入 x ? 0, y ? 1得 y? x?0 y?1 ? 1; 4 将方程(1)两边再对x求导得 12x2 ? 2 y? ? xy?? ? 12 y2( y?)2 ? 4 y3 y?? ? 0 代入 x ? 0, y ? 1, y? x?0 y?1 ? 1 4 得 y?? x?0 y?1 ? ?1. 16 2、对数求导法 观察函数 y ? ( x ? 1)3 x ? ( x ? 4)2 e x 1 , y ? x sin x . 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. --------对数求导法 适用范围: 多个函数相乘和幂指函数u( x)v( x)的情形. 例4 设 ( x ? 1)3 y? x ? 1 , 求y?. ( x ? 4)2 e x 解 等式两边取对数得 ln y ? ln( x ? 1) ? 1 ln( x ? 1) ? 2 ln( x ? 4) ? x 3 上式两边对 x求导得 y? ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 y x ? 1 3( x ? 1) x ? 4 ? y? ? ( x ? 1)3 x ? ( x ? 4)2 e x 1[ x 1 ? 1 ? 1 3( x ? 1) ? x 2 ? 4 ? 1] 例5 设 y ? xsinx ( x ? 0), 求y?. 解 等式两边取对数得 ln y ? sin x ? ln x 上式两边对x求导得 1 y? ? cos x ? ln x ? sin x ? 1 y x ? y? ? y(cos x ? ln x ? sin x ? 1 ) x ? x sin x (cos x ? ln x ? sin x ) x 一般地 f ( x) ? u( x)v( x) (u( x) ? 0) ? ln f ( x) ? v( x)? ln u( x) 又? d ln f ( x) ? 1 ? d f ( x) dx f ( x) dx ? f ?( x) ? f ( x) ? d ln f ( x) dx ? f ?( x) ? u( x)v( x)[v?( x) ? ln u( x) ? v( x)u?( x)] u( x) 3、由参数方程所确定的函数的导数 P107 若参数方程?? ? x y ?? ?? (t )确定 (t) y与x间的函数关系 , 称此为由参数方程所确定的函数. 例如 ?x ? 2t, ? ? y ? t 2 , t? x 2 消去参数 t ? y ? t2 ? (



友情链接: 时尚网 总结汇报 幼儿教育 小学教育 初中学习资料网