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【全程复*方略】(浙江专用)版高考数学 4.1坐标系课时体能训练 文 新人教A版选修4

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【全程复*方略】 (浙江专用) 2013 版高考数学 4.1 坐标系课时体能训练 文 新 人教 A 版选修 4
1.已知⊙O1 与⊙O2 的极坐标方程分别是ρ =2cos θ 和ρ =2asin θ (a 是非零常数). (1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若两圆的圆心距为 5 ,求 a 的值. 2.⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为ρ =4cos θ ,ρ =-4sin θ . (1)把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过⊙O1,⊙O2 交点的直线的极坐标方程. 3.(易错题)在极坐标系中,已知直线 l 过点 A(1,0) ,且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角 为

? ,求: 3

(1)直线的极坐标方程; (2)极点到该直线的距离. 4.(1)求以 C(4,0)为圆心,半径等于 4 的圆的极坐标方程; (2)从极点 O 作圆 C 的弦 ON,求 ON 的中点 M 的轨迹方程. 5.已知 A(-3,

4? 5? ),B(5, ? )两点. 3 6

(1)求 A,B 两点之间的距离; (2)求△AOB 的面积 S(其中 O 为极点). 6.(预测题)已知曲线 C: ?

? x ? 3cos ? , ? y ? 2sin?

直线 l:ρ (cosθ -2sinθ )=12. (1)将直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程. (2)设点 P 在曲线 C 上,求 P 点到直线 l 距离的最小值. 7.在极坐标系中,从极点 O 作直线与另一直线 l:ρ cosθ =4 相交于点 M,在 OM 上取一点 P,使 OM·OP=12. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设 R 为 l 上任意一点,试求 RP 的最小值. 8.已知圆 C 的极坐标方程ρ =2asinθ ,求: (1)圆 C 关于极轴对称的圆的极坐标方程;

(2)圆 C 关于直线θ =

3? 对称的圆的极坐标方程. 4

9.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为ρ cos(θ -

? )=1,M,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点. 3

(1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程. 10.(探究题)在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C(3, (1)求圆 C 的极坐标方程. (2)若 Q 点在圆 C 上运动,P 在 OQ 的延长线上,且 OQ ? 2QP ,求动点 P 的轨迹方程.

? ),半径 r=3. 3

答案解析 1.【解析】 (1)由ρ =2cos θ ,得ρ =2ρ cos θ ∴⊙O1 的直角坐标方程为 x +y =2x. 即(x-1) +y =1. 由ρ =2asin θ ,得ρ =2aρ sin θ , ∴⊙O2 的直角坐标方程为 x +y =2ay, 即 x +(y-a) =a . (2)⊙O1 与⊙O2 的圆心之间的距离为 12 ? a 2, 即 12 ? a 2 ? 5 , 解得 a=±2. 2.【解析】以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立*面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位. (1)由ρ =4cos θ 得ρ =4ρ cos θ .所以 x +y =4x. 即 x +y -4x=0 为⊙O1 的直角坐标方程; 同理 x +y +4y=0 为⊙O2 的直角坐标方程. (2)方法一:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

由?

2 2 ? ?x1 ? 0 ?x 2 ? 2 ? x ? y ? 4x ? 0 ,解得: , , ? ? 2 2 y ? 0 y ? ? 2 x ? y ? 4y ? 0 ? ? 1 ? 2 ?

即⊙O1,⊙O2 交于点(0,0)和(2,-2). 过交点的直线的直角坐标方程为 y=-x, 化为极坐标方程为:ρ cos θ =-ρ sin θ ,化简得: ? ? 方法二: 由?
2 2 ? ? x ? y ? 4x ? 0 两式相减得-4x-4y=0, 2 2 x ? y ? 4y ? 0 ? ?

3? . 4

即过交点的直线的直角坐标方程为 y=-x, 化为极坐标方程为:ρ cos θ =-ρ sin θ ,化简得: ? ? 方法三:解方程组 ? 即θ = k? ?

3? . 4

?? ? 4cos? 得 tanθ =-1, , ?? ? ?4sin?

3? 3? , ∴直线的极坐标方程为θ = . 4 4

3.【解析】方法一: (1)如图,由正弦定理得

? 1 . ? 2? ? sin sin( ? ?) 3 3

即 ?sin( ? ?) ? sin

? 3

2? 3 ? , 3 2
? 3 -θ )= . 3 2

∴所求直线的极坐标方程为ρ sin(

(2)作 OH⊥l,垂足为 H,在△OHA 中, OA=1,∠OHA=

? ? ,∠OAH= , 2 3

则 OH ? OAsin

? 3 ? , 3 2 3 . 2

即极点到该直线的距离等于

方法二:(1)直线的斜率为 k= tan

? ? 3, 又直线过点 A(1,0),所以直线的点斜式方程为 y= 3 (x-1),化 3

为极坐标方程为ρ sinθ = 3(?cos? ?1), 即 ?(sin? ? 3cos?) ? ? 3, ∴ 2?sin(? ? ) ? ? 3, 即 ?sin(? ? ) ? ?

? 3

? 3

3 , 2

所以 ?sin(

? 3 为所求. ? ?) ? 3 2

(2)由上述可知,极点即坐标原点(0,0)到直线 3x-y- 3 ? 0 的距离为 d=

0?0? 3

? 3?

2

? ? ?1?

?
2

3 . 2

4. 【解析】 (1) 设P (ρ ,θ ) 为圆 C 上任意一点, 圆 C 交极轴于另一点 A, 则|OA|=8, 在 Rt△AOP 中,|OP|=|OA|cos θ ,即ρ =8cosθ ,这就是圆 C 的极坐标方程. (2)由 r=|OC|=4,连接 CM. 因为 M 为弦 ON 的中点,所以 CM⊥ON. 故 M 在以 OC 为直径的圆上. 所以动点 M 的轨迹方程是ρ =4cosθ (不含极点). 5.【解析】 (1)易得∠AOB=

5? , 6
2

∴|AB|= |OA| ? |OB| ? 2|OA| |OB|cos
2

5? ? 34 ? 15 3 6

(2)由 S=

1 15 |OA|·|OB|sin∠AOB,得 S= . 2 4

6.【解析】(1)∵ρ (cosθ -2sinθ )=12, ∴ρ cosθ -2ρ sinθ =12,∴x-2y-12=0. (2)设 P(3cosθ ,2sinθ ),

∴d ?

3 4 | 3cos? ? 4sin? ? 12| 5 ? |5cos(? ?φ ) ? 12 | (其中,cosφ = ,sinφ = ), 5 5 5 5

当 cos(θ +φ )=1 时,dmin=

7 5 , 5 7 5 . 5

∴P 点到直线 l 的距离的最小值为

7.【解题指南】由 O、M、P 三点共线及 OM·OP=12.设出动点 P、M 的极坐标,然后代入条件等式求解即可. 也可以转化为直角坐标方程解决. 【解析】方法一:(1)设动点 P 的极坐标为(ρ ,θ ) ,则点 M 为(ρ 0,θ ) . ∵OM·OP=12,∴ρ 0ρ =12,得ρ 0=

12 . ? 12 cosθ =4, ?

∵M 在直线ρ cosθ =4 上,∴ρ 0cosθ =4,即

于是ρ =3cosθ (ρ >0)为所求的点 P 的轨迹方程.

3 cosθ , 2 3 3 所以点 P 的轨迹是圆心为( ,0) ,半径为 的圆(去掉原点). 2 2
(2)由于点 P 的轨迹方程为ρ =3cosθ =2· 又直线 l:ρ cosθ =4 过点(4,0)且垂直于极轴,点 R 在直线 l 上,由此可知 RP 的最小值为 1. 方法二:(1)直线 l:ρ cosθ =4 的直角坐标方程为 x=4,设点 P(x,y)为轨迹上任意一点,点 M(4,y0) , 由 OP

OM ,得 y0=

4y (x>0). x
2 2

又 OM·OP=12,则 OM ·OP =144.

16y 2 (x ? y )(16 ? 2 ) ? 144, ∴ x
2 2

整理得 x +y =3x(x>0), 这就是点 P 的轨迹的直角坐标方程. (2)由上述可知,点 P 的轨迹是圆心为(

2

2

3 3 ,0) ,半径为 的圆(去掉原点). 2 2

又点 R 在直线 l:x=4 上,故 RP 的最小值为 1. 8.【解析】方法一:设所求圆上任意一点 M 的极坐标为(ρ ,θ ). (1)点 M(ρ ,θ )关于极轴对称的点为 M(ρ ,-θ ) ,代入圆 C 的方程ρ =

2asinθ ,得ρ =2asin(-θ ) ,即ρ =-2asinθ 为所求. (2)点 M(ρ ,θ )关于直线θ = (

3? 3? 对称的点为(ρ , -θ ) ,代入圆 C 的方程ρ =2asinθ ,得ρ =2asin 4 2

3? -θ ) , 2
2

即ρ =-2acosθ 为所求. 方法二:由圆的极坐标方程ρ =2asinθ ,得ρ =2ρ asinθ ,
2 2 利用公式 x=ρ cosθ ,y=ρ sinθ ,ρ = x ? y ,

化为直角坐标方程为 x +y =2ay. 即 x +(y-a) =a ,故圆心为 C(0,a) ,半径为|a|. (1)关于极轴对称的圆的圆心为(0,-a) ,圆的方程为 x +(y+a) =a , 即 x +y =-2ay,∴ρ =-2ρ asinθ , 故ρ =-2asinθ 为所求. (2)由θ =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

3? 3? 得 tanθ =-1,故直线θ = 的直角坐标方程为 y=-x, 4 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2

圆 x +(y-a) =a 关于直线 y=-x 对称的圆的方程为(-y) +(-x-a) =a , 即(x+a) +y =a ,于是 x +y =-2ax. ∴ρ =-2ρ acosθ . 此圆的极坐标方程为ρ =-2acosθ . 9.【解析】 (1)由ρ cos(θ 2 2

? 1 3 )=1 得ρ ( cos? ? sin? )=1. 3 2 2

从而 C 的直角坐标方程为

1 3 x? y ? 1. 2 2

即 x+ 3 y=2.当θ =0 时,ρ =2,所以 M(2,0);

当θ =

? 2 3 ? 2 3 , ). 时,ρ = , 所以 N( 2 3 2 3

(2)M 点的直角坐标为(2,0) ,N 点的直角坐标为(0,

2 3 3 ).所以 P 点的直角坐标为(1, ),则 P 点的 3 3

极坐标为(

2 3 ? , ). 3 6

所以直线 OP 的极坐标方程为θ =

? (ρ ∈R). 6

10.【解析】 (1)设 M(ρ ,θ )是圆 C 上任意一点,在△OCM 中,

? 2 2 2 |,由余弦定理,得|CM| =|OM| +|OC| -2|OM||OC|cos∠COM. 3 ? 2 2 2 ∴3 =ρ +3 -2×3×ρ cos(θ - ). 3 ? 即ρ =6cos(θ - )为所求. 3
∠COM=|θ - (2)设点 Q 为(ρ 1,θ 1) ,点 P 为(ρ ,θ ) ,由 OQ ? 2QP , 得 OQ ? 2(OP -OQ). ∴ OQ ?

2 2 ? OP ,∴ρ 1= ρ ,θ 1=θ ,代入圆ρ =6cos(θ - )方程得 3 3 3 2 ? ? ? ? 6cos(?- ), 即ρ =9cos(θ - )为所求. 3 3 3




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