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【课件】2空气动力学基础-2-3环量与涡量精品版

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空气动力学基础 第2章 流体动力学和运动学基础 沈阳航空航天大学 航空航天工程学院 飞机设*萄惺 2014年3月 第 2 章 流体运动学和动力学基础 §2.1 描述流体运动的方法 §2.2 流体微团运动的分析 §2.3 理想流体运动微分方程组 ?2.3.1 连续方程 ?2.3.2 Euler运动微分方程组 ?2.3.3 Bernoulli积分及其物理意义 ?2.3.4 Bernoulli方程的应用 §2.4 流体运动积分方程组 ?2.4.1 Lagrange型积分方程 ?2.4.2 Reynolds输运方程 ?2.4.3 Euler型积分方程 § 2.5 环量与涡 § 2.4 环量与涡 § 2.4.1 环量与涡的概念 研究流动的问题,还有两面个极重要的概念,一 个叫环量,一个叫做涡。 ?速度环量:在流场中任取一条封闭曲线,速度沿该 封闭曲线的线积分称为该封闭曲线的速度环量。 ?速度环量的符号决定于流场的速度方向和绕行方向 ?规定积分时逆时针绕行方向为正,即封闭曲线所包围的 区域总在行进方向的左侧。 § 2.5.1 环量与涡的概念 ? ? ? ?V ? ds? ? ?V cos?ds L L 如果把一个速度向量分成三个 坐标轴方向的三个分量u,v,w , 把线段ds也分解成dx, dy, dz 三 (a) 沿曲线AB作速度的线积分 个方向的三个线段,有: (b) 沿闭曲线速度的线积分 ? V ? ? ds ? udx ? vdy ? wdz 于是环量表达式为: ? ? ? (udx ? vdy ? wdz) L § 2.5.1 环量与涡的概念 如果流动是无旋的, 存在位函数Φ , 那末上式 中的 u ,v ,w 都可以用Φ 的偏导数表达: u ? ?? v ? ?? ?x ?y w ? ?? ?z ? ? ? L ? (V ? ? ds ) ? ? L ( ?? ?x dx ? ?? ?y dy ? ?? ?z dz) ? ? L d? ? 0 说明在无旋流动中,沿着任意一条封闭曲线的速度环 量均等于零。但是对有旋流动,上述结论并不成立, 绕任意一条封闭曲线的速度环量一般不等于零。 § 2.5.1 环量与涡的概念 涡量概念 是指流场中任何一点微团角速度之二倍, 如*面问题中的2ωz , 称为涡量,涡量是个纯运 动学的概念。 在三维流里,流体微团可以有三个方向的角速度 ωx ,ωy ,ωz ,三者合为一个合角速度是: ???? ? ? ?xi ??y j ??zk ?? ? ? ? ? 2 x ? ? 2 y ? ?z2 ? 涡量可写为:rotV ? 2?? ? ? ? ?V 旋转轴线都按右手定则确定。合角速度是个向量, 它的三个方向余弦是ωx/ω,ωy/ω ,ωz/ω。 § 2.5.1 环量与涡的概念 像流线一样,在同一瞬时,如在流场中有一条曲 线,该线上每一点的涡轴线都与曲线相切,这条 曲线叫涡线。涡线的微分方程是(给定时刻,t 为参量): ?? dx ? dy ? dz 涡线 ?x ?y ?z 给定瞬间,通过某一曲线(本身不是涡线) 涡面 的所有涡线构成的曲面称为涡面。 由封闭涡面组成的管状涡面称为涡管。 涡管 § 2.5.1 环量与涡的概念 涡线是截面积趋于零的涡管。涡线和涡管的强度 都定义为绕涡线或涡管的一条封闭围线的环量。 涡量在一个截面上的面积分称为涡通量,在*面 问题中,涡通量就是: ?z n γ ?? ?? 2?zdS S dS dS S *面问题的涡通量 空间问题的涡通量 在三维空间问题中, 涡通量就是: ?? 2?? ? ? dS ? ?? 2? cos ?dS 式中的S 是任意形状空S 间曲面,γ是S曲面上微面积 dS 的法线和ω的轴线之间的夹角。 § 2.5.2 环量与涡量的关系 在有旋流动中,速度环量与涡量存在着十分密切 的联系。为说明这个联系,首先考察二维流场。 在二维流场中,任取封闭曲线,然后把该封闭曲线 所围成的面积用两组坐标的*行线分割成一系列微 小面积,做每一块微小面积的速度环量并求和,得 到总的速度环量。对于微元ABCD,速度环量为 § 2.5.2 环量与涡量的关系 d? ? ? ?V ? ? ds ABCDA ? ?? u ? ? ?u ?x dx ??dx 2? ? ???? v ? ?v ?x dx ? ?v ?y dy 2 ????dy ? ????u ? ?u ?y dy ? ?u ?x dx 2 ????dx ? ???? v ? ?v ?y dy 2 ????dy ? ???? ?v ?x ? ?u ?y ????dxdy ? 2? z dxdy § 2.5.2 环量与涡量的关系 绕整个封闭曲线的速度环量为(上图中微元矩形 块的重合部分做线积分时因正负号相反而相消) ? ? ? ?V L ? ? ds ? ?L (udx ? vdy) ? ?? s ( ?v ?x ? ?u ?y )dS ? ?? s 2? z dS 上式即为二维问题中的格林公式。 表明:*矫嫔弦环獗瘴 L做速度的线积分,所 得的环量等于曲线所围面积上每个微团角速度的2倍 乘以微团面积之和,即等于通过面积S的涡通量。 § 2.5.2 环量与涡量的关系 如果围线内没有涡通量,那末沿围线的环量必是 零。如果把围线放大一些,尽管面积放大了,但 只要包进去的面积里没有涡通量,那么环量值并 不会改变。沿任何围线只要速度环量等于零,就 说明围线内无涡通量。 推广到三维空间中的封闭曲线L上,计算的速度环 量仍等于二倍角速度乘围线所



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